In your mind: RANK MATRIKS ATAS RING

Sekitar tiga minggu yang lalu aku mendapatkan tugas membuat tulisan atau paper dalam mata kuliah Matriks Atas Ring. Alhamdulillah sedikit banyak aku menjadi lebih memahami apa dan bagaimana rank suatu matriks. Aku pikir, daripada ingatan ini terkikis oleh waktu, ada baiknya kalau aku tuliskan kembali di sini walaupun hanya sedikit.
Matriks atas ring adalah matriks yang entri-entrinya elemen suatu ring. Dalam tulisan ini akan dibahas kaitan atau hubungan antara rank suatu matriks atas sebarang ring, rank suatu matriks atas lapangan, dan rank suatu matriks atas daerah integral yang termuat dalam lapangan hasil bagi.
Definisi 1:
Himpunan semua matriks berukueliran m x n dengan entri-entri elemen ring R, dinotasikan dengan $M_{mxn}\left(R\right)$ . Lebih jelasnya adalah sebagai berikut:

$M_{mxn}\left(R\right)=\left\{ \left[\begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & . & . & . & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & . & . & . & a_{2n}\\ . & . & . & & & .\\ . & . & & . & & .\\ . & . & & & . & .\\ a_{m1} & a_{m2} & . & . & . & a_{mn}\end{array}\right]|aij\in R,\; i=1,...,m,\; j=1,...,n\right\}$

Definisi 2:
Diberikan matriks $A\in M_{mxn}\left(R\right)$ . Untuk setiap $t=1,2,...,r=min\left\{ m,n\right\}$ , $I_{t}\left(A\right)$ dinotasikan sebagai ideal di dalam ring R yang dibangun oleh minor berukuran t x t dari matriks A.
Untuk menghitung $I_{t}\left(A\right)$ , hal pertama yang harus dilakukan adalah menghitung determinan dari setiap submatriks berukuruan t x t dari matriks A, kemudian tentukan ideal di ring R yang dibangun oleh determinan-determinan tersebut. Selanjutnya, setiap minor berukuran $\left(t+1\right)x\left(t+1\right)$ dari matriks A termuat dalam $I_{t}\left(A\right)$ , sehingga akan terbentuk rantai ideal-ideal di dalam ring R sebagai berikut:

$I_{r}\left(A\right)\subseteq I_{r-1}\left(A\right)\subseteq I_{r-2}\left(A\right)\subseteq...\subseteq I_{2}\left(A\right)\subseteq I_{1}\left(A\right)\subseteq R$

Dari rantai ideal tersebut, dapat dibentuk definisi yang lebih umum,di luar rantai tersebut, yaitu untuk semua $t\in\mathbb{Z},\; t\leq0\vee t>min\left\{ m,n\right\}$ , yaitu sebagai berikut:

$I_{t}\left(A\right)=\left\{ 0\right\} ,\; t>min\left\{ m,n\right\}$

dan

$I_{t}\left(A\right)=R,\; t\leq0$

Dengan demikian dapat diperoleh rantai ideal yang jauh lebih panjang daripada rantai ideal sebelumnya, yaitu sebagai berikut:

$\left\{ 0\right\} \subseteq I_{r+1}\left(A\right)\subseteq I_{r}\left(A\right)\subseteq I_{r-1}\left(A\right)\subseteq I_{r-2}\left(A\right)\subseteq...\subseteq I_{2}\left(A\right)\subseteq I_{1}\left(A\right)\subseteq I_{0}\left(A\right)=R$

Definisi 4:
Diberikan matriks $A\in M_{mxn}\left(R\right)$ . Rank dari matriks A, dinotasikan rk(A), adalah sebagai berikut:

$rk\left(A\right)=maks\left\{ t|Ann_{R}\left(I_{t}\left(A\right)\right)=\left\{ 0\right\} \right\}$

Contoh:
Diberikan $R=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}=\left\{ 0,1,2,3,4,5\right\}$ . Akan dicari rank dari masing-masing matriks berikut:
Misalkan

$A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 2\\ 0 & 2\end{array}\right]\in M_{2x2}\left(R\right)$

Jelas bahwa matrik A bukan matriks nol. Setiap entri dalam matriks A adalah pembagi nol di ring R. Perhatikan bahwa 0 adalah pembagi nol di ring R karena berlaku 0.r = 0 untuk setiap $r\in R$ tak nol, dan 2 juga pembagi nol di ring R, karena ada $3\in R=\mathbb{Z}_{6}$ sehingga berlaku 2.3 = 0.
Matriks A tersebut berukuran 2 x 2 sehingga hanya ada dua ideal $I_{2}\left(A\right)\&I_{1}\left(A\right)$ yang dapat disusun dari minor-minor matriks A, yaitu masing-masing berukuran 2 x 2 dan 1 x 1 sebagai berikut:

$I_{2}\left(A\right)=\left\langle \left|\begin{array}{cc} 2 & 2\\ 0 & 2\end{array}\right|\right\rangle =\left\langle 4\right\rangle =4R$

Dari sini dapat diperoleh:

$Ann_{R}\left(I_{2}\left(A\right)\right)=Ann_{R}\left(4R\right)=\left\{ a\in R|a\left(4R\right)=0\right\} =3R\neq0$

Selanjutnya,

$I_{1}\left(A\right)=\left\langle 0,2\right\rangle =\left\langle 0\right\rangle +\left\langle 2\right\rangle +\left\langle 0.2\right\rangle =\left\langle 2\right\rangle =2R$

Dari sini juga dapat diperoleh:

$Ann_{R}\left(I_{1}\left(A\right)\right)=Ann_{R}\left(2R\right)=\left\{ a\in R|a\left(2R\right)=0\right\} =3R\neq0$

Karena

$Ann_{R}\left(I_{2}\left(A\right)\right)\neq0\;\&\; Ann_{R}\left(I_{1}\left(A\right)\right)\neq0$

maka $rk\left(A\right)=0$ .
Untuk tulisan lengkapnya bisa Anda download di sini. Di situ dibahas mengenai kaitan atau hubungan antara rank suatu matriks atas sebarang ring, rank suatu matriks atas lapangan, dan rank suatu matriks atas daerah integral yang termuat dalam lapangan hasil bagi. Setelah diberikan definisi rank, baik atas ring, lapangan, dan daerah integral yang termuat dalam suatu lapangan hasil bagi, sebisa mungkin aku berikan contoh agar sedikit mudah dipahami, kemudian dilanjutkan dengan beberapa sifat yang ada. Semoga bermanfaat ya, dan selamat membaca.
Mari kita senantiasa terus berbagi ilmu pengetahuan, apa saja. Nuwun.

In your mind

Selasa, 07 Desember 2010

RANK MATRIKS ATAS RING

Tidak ada komentar:

Posting Komentar