Entah kenapa aku merasa ingin terus membahas skripsiku kemarin. Semoga selalu seperti ini, maksudku ingin terus membaca-baca kembali apa yang aku geluti selama hampir satu tahun itu. Kali ini aku ingin membahas Lemma 2.3.4 yang ada di skripsiku. Selamat membaca ya.
Sebelumnya, didefinisikan terlebih dahulu himpunan yaitu:
Eit, jangan sampai lupa ya, bahwa aku “bekerja” dengan ring komutatif R dengan elemen satuan loh ya.
Lemma 2.3.4
Jika M adalah R-modul dan N adalah submodul, maka adalah ideal di ring R.
Bukti :
Diketahui M adalah R-modul. Akan dibuktikan adalah ideal. Selanjutnya diambil sebarang dan , maka akan berlaku hal-hal sebagai berikut:
1. Jelas karena .
2. Karena maka dan sehingga berlaku:
Dengan kata lain, .
3. Karena maka untuk sebarang berlaku:
Dengan kata lain, .
Dari tiga hal di atas, maka terbukti bahwa himpunan adalah ideal di ring R.
Semoga tulisan pendek ini bermanfaat ya. Mari kita senantiasa berbagi ilmu pengetahuan, apa saja. Nuwun.
In your mind
Selasa, 07 Desember 2010
Deret Fibonacci
Saya yakin sudah familiar dengan bilangan Fibonacci atau disebut juga deret fibonacci. Suatu pola bilangan yang sederhana pada matematika tetapi ajaibnya pola tersebut banyak muncul di alam. Semua berawal dari 0 dan 1 lalu bilangan berikutnya merupakan hasil penhumlahan 2 bilangan sebelumnya
Ada beberapa cara untuk membuktikan rumus tersebut, dengan rekursif, dengan induksi dll. Sahabat saya Hendry Dext telah menuliskan pembuktian rumus binet. Saya juga mau membuktikan rumus binet tetapi dengan metode yang berbeda dengan Hendry. Saya akan menggunakan aljabar linier.
Pertama-tama kita akan membentuk sistem persamaan linier dengan 2 persamaan. Kita tahu bahwa suku ke n+2 fibonacci merupakan penjumlahan dari suku ke n+1 dan suku ke n. Kita peroleh persamaan yang pertama . Selanjutnya kita butu persamaan ke-2, cukup persamaan sederhana . Kita peroleh sistem persamaan linier
Sedangkan matriks adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan vektor-vektor eigen dari .
diperoleh
Berdasarkan persamaan diatas, dengan mudah kita dapet menghitung
Karena merupakan matriks diagonal maka
Dengan cara sama kita mendapatkan , dengan
Jadi dapat disimpulkan bahwa rumus mencari pangkat ke-n dari matriks adalah
Nah sekarang berapa vektor eigen dan nilai eigen dari . Saya tidak akan melakukan perhitungan disini. Nilai egin dari adalah dan . Sedangkan vektor eigennya adalah dan . Silahkan kalain cek sendiri dan .
Kita peroleh
dan
Itu berarti kita peroleh
.
Catetan:
Akhirnya kita dapat
Viola we got burnet’s formula
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
Bagaimana kita mencari bilangan ke-1000? atau ke-505? Untuk mencari bilangan ke-n dari bilangan fibonacci kita menggunakan rumus binet. Rumus tersebut berkata.
Pertama-tama kita akan membentuk sistem persamaan linier dengan 2 persamaan. Kita tahu bahwa suku ke n+2 fibonacci merupakan penjumlahan dari suku ke n+1 dan suku ke n. Kita peroleh persamaan yang pertama . Selanjutnya kita butu persamaan ke-2, cukup persamaan sederhana . Kita peroleh sistem persamaan linier
Jika sistem persamaandiatas diubah ke dalam persamaan matriks, diperoleh
Oya sebelumnya notasi merupakan suku ke-n dari fibonacci dengan dan .
Jika kita notasikan , dan . Kita peroleh aturan dalam fibonacciNah sekarang mari kita mulai menghitung
Jadi diperoleh rumus umum
Nah..sekarang pertanyaannya adalah bagaimana menghitung pangkat ke-n dari matriks secara cepat?
Cara cepatnya adalah dengan menggunakan 2 matriks spesial dan . Matriks adalah matriks diagonal yang memuat nilai-nilai eigen dari matriks
Sedangkan matriks adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan vektor-vektor eigen dari .
diperoleh
Berdasarkan persamaan diatas, dengan mudah kita dapet menghitung
Karena merupakan matriks diagonal maka
Dengan cara sama kita mendapatkan , dengan
Jadi dapat disimpulkan bahwa rumus mencari pangkat ke-n dari matriks adalah
Nah sekarang berapa vektor eigen dan nilai eigen dari . Saya tidak akan melakukan perhitungan disini. Nilai egin dari adalah dan . Sedangkan vektor eigennya adalah dan . Silahkan kalain cek sendiri dan .
Kita peroleh
dan
Itu berarti kita peroleh
.
Catetan:
Akhirnya kita dapat
Viola we got burnet’s formula
Langganan:
Postingan (Atom)