In your mind: Lemma 2.3.4

Entah kenapa aku merasa ingin terus membahas skripsiku kemarin. Semoga selalu seperti ini, maksudku ingin terus membaca-baca kembali apa yang aku geluti selama hampir satu tahun itu. Kali ini aku ingin membahas Lemma 2.3.4 yang ada di skripsiku. Selamat membaca ya.
Sebelumnya, didefinisikan terlebih dahulu himpunan $\left(N:M\right)$ yaitu:

$\left(N:M\right)=\left\{ r\in R|rM\subseteq N\right\}$

Eit, jangan sampai lupa ya, bahwa aku “bekerja” dengan ring komutatif R dengan elemen satuan loh ya.
Lemma 2.3.4
Jika M adalah R-modul dan N adalah submodul, maka $\left(N:M\right)$ adalah ideal di ring R.
Bukti :
Diketahui M adalah R-modul. Akan dibuktikan $\left(N:M\right)$ adalah ideal. Selanjutnya diambil sebarang $a,b\in\left(N:M\right)$ dan $r\in R$ , maka akan berlaku hal-hal sebagai berikut:
1. Jelas $\left(N:M\right)\neq\emptyset$ karena $0\in\left(N:M\right)$ .
2. Karena $a,b\in\left(N:M\right)$ maka $aM\subseteq N$ dan $bM\subseteq N$ sehingga berlaku:

$\left(a-b\right)M=aM-bM\subseteq N$

Dengan kata lain, $a-b\in\left(N:M\right)$ .
3. Karena $aM\subseteq N$ maka untuk sebarang $r\in R$ berlaku:

$\left(ra\right)M=r\left(aM\right)\subseteq N$

Dengan kata lain, $ra\in\left(N:M\right)$ .
Dari tiga hal di atas, maka terbukti bahwa himpunan $\left(N:M\right)=\left\{ r\in R|rM\subseteq N\right\}$ adalah ideal di ring R.
Semoga tulisan pendek ini bermanfaat ya. Mari kita senantiasa berbagi ilmu pengetahuan, apa saja. Nuwun.

In your mind

Selasa, 07 Desember 2010

Lemma 2.3.4

Tidak ada komentar:

Posting Komentar